Ciao Raffaele,
mi spiace per i paroloni ma non era mia intenzione e alla fine mi hai fatto salire in soffitta a cercare gli appunti di trent'anni fa!
Ma andiamo per ordine.
Hai messo insieme due argomenti, la rotazione di un oggetto in un riferimento piano (i quaternioni) e la rappresentazione di una sfera su un piano e le due cose sono differenti.
Vediamo la prima ed abbi pazienza per i paroloni ma sono necessari per parlare dell'argomento.
Un numero complesso è un numero che ha una parte reale ed una immaginaria e sul piano a due dimensioni si scrive a+
ib dove a e b sono numeri reali (R) ed
i è l'unità immaginaria (per questo è in grassetto).
Tralasciando l'uso generale di questi numeri possono essere utilizzati per rappresentare le rotazioni sul piano a due dimensioni (R2 appunto è il piano con i due assi ortogonali X e Y che rappresentano l'insieme dei numeri Reali. Il 2 dovrebbe essere all'esponente e si legge "erre quadro").
In tre dimensioni i numeri complessi si indicano come quaternioni e si scrivono a+
ib+
jc+
kd. Fu Hamilton, matematico irlandese, che ne descrisse per primo le proprietà nel 1843 ed hanno preso il suo nome.
Eulero, un po' di tempo prima, notò che qualsiasi rotazione, intorno ai tre assi, può essere rappresentata da una rotazione singola intorno ad un asse "precedentemente ruotato" r=[x y z] che si chiama asse di rotazione e lo si trova usando (le proiezioni de) gli angoli di Eulero.
Il quaternione si può rappresentare come il vettore q= [a b c d] che è quello usato per le rotazioni e i quattro valori (per questo si chiama quaternione) sono:
a= cos (th/2)
b= sin (th/2) cos (x)
c= sin (th/2) cos (y)
d= sin (th/2) cos (z)
dove th è l'angolo di rotazione del mio oggetto e x, y e z sono gli angoli dell'asse di rotazione di Eulero.
Ora mi dispiace aver dovuto mettere tutta la tiritera sopra ma è utile per capire il resto.
Vediamo ora l'editor di OR.
Nella figura sotto il binario selezionato è orientato esattamente da sud a nord nell'editor (che rappresenta un mondo cartesiano infinito, non la superficie di una sfera) e i relativi valori del quaternione nella ellisse rossa.
- qua1.jpg (350.97 KiB) Visto 344 volte
Da notare che il quaternione non rappresenta il mio oggetto che sarebbe rappresentato da un vettore di tre elementi per es. "binario100m" = [100 0 0] ma solo la funzione da moltiplicare per il mio vettore e avere le coordinate del vettore ruotato.
Infatti ruotandolo di 1 grado il quaternione cambia e appare il seno della mezza rotazione di 1 grado lungo un asse (quello di rotazione appunto).
- qua2.jpg (362.97 KiB) Visto 344 volte
Mentre il vettore che rappesenta il binario diventerebbe "binario100m" = [99.99 1.74 0] che sono appunto il seno e il coseno dell'angolo di 1 grado moltiplicati per 100 ovvero le nuove coordinate del mio binario.
- vettore.jpg (22.03 KiB) Visto 344 volte
Per completezza anche il binario ruotato con la funzione Transform dell'editor ha associato lo stesso quaternione per cui i due binari hanno la stessa orientazione rispetto allo spazio.
- qua3.jpg (363.27 KiB) Visto 344 volte
Per quanto riguarda la corretta rappresentazione della superficie della Terra su un piano, è una problema che è stato affrontato in molti modi differenti che presentano vantaggi e svantaggi ma qui sarebbe opportuno l'intervento di un cartografo. Essenzialmente si cerca di rappresentare piccole porzioni proiettandole su un piano e poi legandole insieme sovrapponendo i bordi. Il risultato può mostrare differenze come quella che hai notato tu proprio a causa di queste diversi metodi di proiezione.
Ricordo che notammo questo problema proprio con la Faentina: modellando il terreno con i DEM, Alessandro -che è molto più pignolo di me-, si accorse che orientando correttamente i binari rispetto al terreno, le curve non mantenevano il raggio e, talvolta, l'angolo.
Ma lui conosce la Faentina come le sue tasche per averla percorsa tutta sia a piedi sia in treno e ti saprebbe raccontare tra due qualsiasi stazioni quante gallerie incontri e la loro lunghezza, quanti sono i ponti o ponticelli, cosa vedi a destra e sinistra e come arrivarci.
un caro saluto, renzo.